Control
CAD - online trafika
Google překladač: English Deutsch

Exkluzivní partner sekce

CEGRA
Dytron
Siemens - CAM webinar
SolidWorks

GOPAS - CAD kurzy

Více kurzů

StreamTech.tv

streamtech tv-logo

Deskriptivní geometrie – jádro CAD systémů

Tags: CAD | Software

McDonnell planetarium, Saint Louis, USA [4]My dříve narození absolventi středních odborných škol a vysokých škol technického směru jsme prošli výukou deskriptivní geometrie. S nástupem CAD systémů lze pozorovat trend odbourávání výuky deskriptivní geometrie z učebních osnov. Jsou tato rozhodnutí správná? Nepřipravujeme se o teorii prostorového vidění? Opravdu mohou CAD systémy nahradit tuto nauku, jejíž rozvoj se datuje do dob starověké Mezopotámie? Dost bylo otázek, nechme hovořit fakta historie, ale i fakta současnosti a snažme se společně hledat odpovědi na naše otázky.
Cegra - Graphisoft ARCHICAD 22

Trocha historie

Geometrie je jedna z nejstarších matematických disciplín. Její počátky sahají do starověké Mezopotámie, Egypta, Řecka a Říma. Pravděpodobně nejstarším zachovaným dokladem rýsování je kamenná destička z r. 4000 př. n. l., na níž je zobrazen půdorys pevnosti. Významnou roli hraje geometrie ve starém Egyptě, kde díky pravidelným záplavám museli zeměměřiči stále znovu vyměřovat pozemky, počítat jejich obsahy a obvody. Délku kružnice a obsah kruhu počítali podle vzorců, které používáme dodnes.
Doklady o prvních náznacích promítání pocházejí z roku 1200 př. n. l., kde jde o kolmé průměty objektů na svislou rovinu. Později byl ve čtvercové síti zobrazován půdorys, nárys a bokorys objektu, tedy jeho kolmé průměty do tří rovin. Z období kolem roku 390 až 330 př. n. l. se zachoval papyrus s kolmými průměty sfingy. Nákresy sloužily jako technické výkresy při zpracovávání kamenných kvádrů. Tento způsob zobrazování se stal základem jedné ze zobrazovacích metod používané i dnes, jejíž základy uvádí Gaspard Monge ve své knize „Géométrie descriptive“ (1798-1799). Metoda podle něj dostala název Mongeova projekce.
Postupně se vyvíjely i další zobrazovací metody, umožňující zobrazovat prostorové objekty do roviny. Leonardo da Vinci (1452–1519) ve svých návrzích staveb a částí strojů používal různé typy axonometrických zobrazení.
Ve středověku už malíři ve svých dílech využívali základy perspektivního zobrazení, které umožňovalo realistické zachycení prostorových výjevů.
Od 16. století se kromě syntetické metody v geometrii začíná prosazovat metoda analytická, která umožňuje matematický popis geometrických objektů a jejich vlastností a také řešení geometrických úloh metodami algebry, matematické analýzy a později i diferenciální geometrie. Tím se geometrie dostává do přímého vztahu s matematikou. Tato metoda je využívána při řešení geometrických úloh s pomocí počítačů. No a při tom jsou nezbytné základní znalosti o zobrazovacích metodách a konstrukcích používaných v syntetické geometrii.

Deskriptivní geometrie

Výtvory techniky jsou vždy prostorové. Navrhujeme je a zobrazujeme rovinným nákresem – technickým výkresem. Na sestrojování technických výkresů je mnoho pravidel, jejichž podstatná část je shrnuta v normách. Tyto se však téměř nedotýkají nejdůležitějších pravidel technického výkresu – podstaty zobrazování.

Metodami umožňujícími zobrazovat prostorové objekty na rovinu se zabývá samostatné vědecké odvětví – deskriptivní geometrie. Zobrazovací metody nazýváme promítání. Známe dva základní druhy:
středové promítání,
rovnoběžné promítání.

Při středovém promítání všechny promítací paprsky procházejí jedním bodem – středem promítání (obr. 1). Speciálním případem středového promítání je lineární perspektiva, která vytváří nejreálnější obraz zobrazovaného objektu.
Obr. 1 Zobrazení objektu ve středovém promítání
Obr. 1 Zobrazení objektu ve středovém promítání

Při rovnoběžném promítání jsou promítací paprsky rovnoběžné s daným směrem s. Pokud je směr s kolmý na průmětnu, hovoříme o kolmém (pravoúhlém) promítání. Nejčastěji využívanými kolmými promítáními jsou Mongeova projekce a kolmá axonometrie.
První z nich, Mongeova projekce, je kolmé promítání na dvě na sebe kolmé souřadnicové roviny karteziánského souřadnicového systému, které sdružíme do jedné nákresny. Získáváme tedy dva kolmé průměty jednoho objektu – půdorys (pohled shora) a nárys (pohled zepředu) (obr. 2). Využitím dalších pomocných průměten můžeme podle potřeby získat další pohledy na objekt (obr. 3). Promítání je vhodné při zobrazování geometrických útvarů v případě, že potřebujeme zachovat jejich měřitelnost.
Obr. 2 Zobrazení bodu v Mongeově projekci
Obr. 2 Zobrazení bodu v Mongeově projekci
Obr. 3 Tři pohledy na objekt – kolmé průměty do tří rovin v Mongeově projekci
Obr. 3 Tři pohledy na objekt – kolmé průměty do tří rovin v Mongeově projekci

Názornější představu o zobrazovaném objektu poskytuje kolmá axonometrie. Při tomto zobrazení promítáme objekt spolu se souřadnicovým systémem do nákresny, přičemž polohu nákresu volíme tak, aby se souřadnicové osy promítly do tří různých přímek (obr. 4).
Obr. 4 Axonometrický průmět objektu
Obr. 4 Axonometrický průmět objektu

Při tvorbě technických výkresů je nejčastěji používána Mongeova projekce, neboť jejich podstatnou složku tvoří půdorysné řezy, čelní a boční pohled objektu, což jsou vlastně průměty v Mongeově projekci. Za účelem upřesnění představy o zobrazovaném objektu se využívá jeho axonometrický nebo perspektivní průmět.

Tématem dalšího textu bude pojednání o konstrukci a zobrazení šikmého prizmatické tělesa (šestiboký šikmý hranol) a o konstrukci rotačního tělesa (jednodílný rotační hyperboloid) syntetickými metodami deskriptivní geometrie a s pomocí 3D CAD systému CATIA V5.

Šestiboký šikmý hranol

Předpokládejme hranol, jehož podstava je pravidelný šestiúhelník se středem S a vrcholem A, ležící v souřadnicové rovině (xy). Osou hranolu je přímka SS'.
Zobrazení tohoto tělesa v Mongeově projekci je jednoduché (obr. 5). Při kolmém průmětu do roviny (xy) se dolní i horní podstava zobrazí jako pravidelné šestiúhelníky a hrany tělesa budou rovnoběžné s osou tělesa. Kolmé průměty obou podstav do roviny (xz) jsou úsečky. Hrany se znovu zobrazí rovnoběžně s průměty osy.
Obr. 5: Půdorys (pohled shora) a nárys (pohled zepředu) šikmého šestibokého hranolu
Obr. 5: Půdorys (pohled shora) a nárys (pohled zepředu) šikmého šestibokého hranolu

Zobrazení tělesa v kolmé axonometrii je už složitější. Průmět podstavy sestrojíme využitím afinního vztahu dvou rovinných polí. V otočené rovině (xy) nejprve sestrojíme půdorys podstavy jako v Mongeově projekci a pomocí osové afinity sestrojíme její axonometrický průmět (obr. 6). Hrany tělesa se zobrazí rovnoběžné s průmětem osy SS'  (obr. 7).
Obr. 6 Zobrazení podstavy tělesa v kolmé axonometrii
Obr. 6 Zobrazení podstavy tělesa v kolmé axonometrii
Obr. 7 Axonometrický průmět šikmého šestibokého hranolu
Obr. 7 Axonometrický průmět šikmého šestibokého hranolu

Na základě výše uvedeného zadání namodelujeme šestiboký šikmý hranol v objemovém modeláři CAD systému. Modelování bude probíhat v prostředí Part Design objemového modeláře CATIA V5. Cílem nebude popsat proces „krok za krokem“, ale spíše poukázat na to, že po pár kliknutích myší a zadáním parametrů z klávesnice je „zhmotněn“ matematický popis geometrie objektů a principy deskriptivní geometrie ve 2D a 3D naprogramované kdesi v jádru každého CAD systému.
Obr. 8 Postup vytvoření šestibokého šikmého hranolu v Part Design CATIA V5 Obr. 8 Postup vytvoření šestibokého šikmého hranolu v Part Design CATIA V5
Obr. 8 Postup vytvoření šestibokého šikmého hranolu v Part Design CATIA V5

Tento hranol vzniká na základě skici šestiúhelníka vytvořeného v prostředí skicáře v rovině (xy) a jeho vytáhnutí ve směru čáry SS' . Šestiúhelník je vepsaný do kružnice o poloměru R=|SA|. Konstrukce je velmi jednoduchá a dialog softwaru je velmi intuitivní.

Na následujících obrázcích jsou různé způsoby zobrazení daného hranolu, jako např. drátěný model v axonometrii s průměty do průměten (yz), (xz) – (obr. 9) a objemový model v axonometrii a perspektivě (obr. 10).
Obr. 9 Axonometrický pohled s viditelností skrytých hran a průměty hranolu
Obr. 9 Axonometrický pohled s viditelností skrytých hran a průměty hranolu
Obr. 10 Axonometrický pohled a perspektivní pohled Obr. 10 Axonometrický pohled a perspektivní pohled
Obr. 10 Axonometrický pohled a perspektivní pohled

Rotační jednodílný hyperboloid

Popíšeme dva způsoby vzniku této plochy.
1. Nechť úsečka AB a osa z jsou navzájem mimoběžné. Potom rotací úsečky AB kolem osy z vznikne rotační přímková plocha zvaná rotační jednodílný hyperboloid. Každý bod úsečky AB vytvoří na ploše tzv. rovnoběžkovou kružnici. Kružnici s nejmenším poloměrem (hrdlovou) vytvoří bod H, který je nejblíže k ose rotace. Její střed S je zároveň středem plochy.
Při zobrazování této plochy metodami syntetické geometrie využíváme hlavně konstrukce kuželoseček a konstrukce s nimi související. A samozřejmě principy jednotlivých zobrazovacích metod.
Na obr. 11 je v Mongeově projekci sestrojený půdorys a nárys plochy. Zobrazených je dvanáct poloh tvořící úsečky. Obrys plochy v půdorysu tvoří průmět podstavové a hrdlové kružnice. V nárysu obrys pozůstává z průmětů podstavových kružnic, které se zobrazí jako úsečky, a z hyperboly, která je obalovou křivkou k průmětům tvořících úseček. Hyperbola je určena středem S2, hlavními vrcholy a asymptotami. Sestrojena je pomocí hyperoskulačních kružnic a čtyř bodů.
Obr. 11 Půdorys a nárys rotačního jednodílného hyperboloidu
Obr. 11 Půdorys a nárys rotačního jednodílného hyperboloidu

Při zobrazování hyperboloidu v kolmé axonometrii opět využijeme afinní vztah. Sestrojíme nejprve půdorys plochy v otočené rovině (xy) a na základě osové afinity jeho axonometrický půdorys. Po zobrazení tvořících přímek je třeba sestrojit obrys plochy sestávající z částí elips, do kterých se promítly obě podstavy, a hyperboly, která je obalovou křivkou průmětů tvořících přímek (obr. 12).
Obr. 12 Axonometrický průmět rotačního jednodílného hyperboloidu
Obr. 12 Axonometrický průmět rotačního jednodílného hyperboloidu

Následovat bude hyperboloid vytvořený v CAD rotováním přímky mimoběžné s osou rotace v povrchovém modeláři CAD systému. Souřadnice počátečního a koncového bodu tvořící úsečky jsou A [7, 4, 0], B [–7, 4, 20]. Tato úsečka rotuje kolem osy z, čímž vzniká hyperboloid. Celý model je vytvořen v prostředí povrchového modeláře Generative Shape Design s pomocí příkazu Line a Revolve (obr. 13).
Obr. 13 Konstrukce tvořící přímky a ukázka vytvoření obálky její rotací kolem osy Z
Obr. 13 Konstrukce tvořící přímky a ukázka vytvoření obálky její rotací kolem osy Z
Obr. 14 Axonometrický pohled na hyperboloid s tvořící přímkou, bez ní, a perspektivní pohled
Obr. 14 Axonometrický pohled na hyperboloid s tvořící přímkou, bez ní, a perspektivní pohled
 Obr. 15 Axonometrické zobrazení drátěného modelu hyperboloidu
Obr. 15 Axonometrické zobrazení drátěného modelu hyperboloidu

2. Rotační jednodílný hyperboloid může vzniknout i rotací hyperboly kolem její vedlejší osy. Předpokládejme, že osa rotace je souřadnicová osa z. Hyperbola ležící v rovině (xz) je dána středem S, velikostí hlavní poloosy a a velikostí vedlejší polosy b. Zobrazit v Mongeově projekci takto zadaný hyperboloid vyžaduje pouze znalosti zobrazování kuželoseček (obr. 16). Obrysem plochy v nárysu je hyperbola určená středem S2 a hlavními vrcholy A2, B2 a úsečky, do nichž se zobrazí podstavové kružnice. Z nárysu umíme snadno odvodit půdorys plochy.
Obr. 16 Hyperboloid vznikající rotací hyperboly kolem své osy
Obr. 16 Hyperboloid vznikající rotací hyperboly kolem své osy

Rotací hyperboly zadané parametrickou rovnicí (pro CAD) kolem osy z v podstatě jde o rotační kvadratickou plochu, kde tvořící křivkou je kuželosečka.
Parametrické rovnice pro definici hyperboly v CAD mají tvar:
 
vzorec

y(t)=0
z(t)=vt

kde
parametr t je prvkem <0,1>
a = 4 je velikost hlavní poloosy
b = 6 je velikost vedlejší poloosy
v = 20 je výška plochy

Modelování na základě parametrických rovnic je trochu náročnější záležitost. Je třeba definovat jednotlivé parametry a rovnici v Law Editor.
Obr. 17 Definování parametrů a zápis rovnice v Law Editor
Obr. 17 Definování parametrů a zápis rovnice v Law Editor

Hyperbola je vytvořena s pomocí funkce Parallel Curve v pracovním prostředí povrchového modeláře Generative Shape Design.
Obr. 18 Definování elipsy pomocí Parallel Curve a Law Definition
Obr. 18 Definování elipsy pomocí Parallel Curve a Law Definition

Rotací takto vytvořené hyperboly kolem osy z vzniká hyperboloid. Změnou jednotlivých parametrů můžeme měnit tvar takto získaného hyperboloidu.
Obr. 19 Vytvoření hyperboloidu rotací hyperboly kolem osy z
Obr. 19 Vytvoření hyperboloidu rotací hyperboly kolem osy z
Obr. 20 Porovnání topologie vytvoření hyperboloidu pomocí větví stromu produktu
Obr. 20 Porovnání topologie vytvoření hyperboloidu pomocí větví stromu produktu

Hledání ekvivalentů deskriptivní geometrie a CAD

Porovnáním těchto dvou přístupů k zobrazení prostorových objektů docházíme k závěru, že počítač je dobrý pomocník, který nám umí usnadnit a zrychlit práci, dokonce umožňuje nakreslit plochy či křivky, které bychom metodami syntetické geometrie nakreslit nedokázali, ale stále kdesi v podvědomí využíváme již získané znalosti z geometrie. Kdo dostal základy deskriptivní geometrie, vidí v každém grafickém výstupu z počítače i tu geometrii v něm skrytou. Ví, že obrázek ve skicáři je v těchto úlohách vlastně půdorys, pohled znamená nárys nebo bokorys. To vše je Mongeova projekce. Axonometrie že je rovnoběžné promítání, ve kterém platí určité zákonitosti, perspektiva zase středové promítání, ve kterém platí jiné zákonitosti. Na základě těchto znalostí umí posoudit, zda objekt, který počítač nakreslil, odpovídá stanoveným požadavkům. Ne náhodou jsme jako ukázku vybrali rotační jednodílný hyperboloid. Jednak je to krásná a velmi často využívaná plocha v architektuře (obr. 21), ale důvod byl tentokrát jiný. Jak vlastně vznikl náš článek? Na začátku byla plocha v CAD, která se tvářila jako hyperboloid. CAD specialista byl spokojen, dokud nenarazil na geometra. Ten ho usvědčil z omylu a přivedl na správnou cestu. Ale to vše bylo možné jen díky tomu, že geometrie ještě žije.

Závěr

Nastal čas odpovědět si na otázky položené v úvodu. Nejlepší je, když si na tyto otázky každý odpovídá sám, ale přesto bychom jako autoři rádi vyjádřili nějaké postřehy, které jsme zaevidovali během psaní tohoto článku. Jeden z autorů je učitel deskriptivní geometrie a druhý CA.. odborník. Po této spolupráci musíme konstatovat, že CAD systém je syntézou deskriptivy a matematiky, ukrytou za pomoci analytiků a programátorů v jádru každého CADu. Využívat CAD systém v celém spektru od tvorby základních objemových těles až po modelování na bázi parametrických rovnic se dá využít jen s velmi dobrými základy deskriptivní geometrie a znalostí matematického popisu geometrických objektů. CAD systémy nám mnoho věcí zjednoduší, mnoho věcí je předprogramovaných a zautomatizovaných, ale to, co chceme navrhnout, se musí zhmotnit v prostorovém vidění naší mysli. Staří Egypťané, Řekové a Římané se nemusí obávat, jejich geometrické konstrukce jsou zakódovány v jádrech CA.. systémů. Ale přesto k plnému pochopení konstrukcí starověkých géniů a tím i k efektivnímu využití CA.. systémů je na začátku přece jen potřebná tužka, kružítko a sada trojúhelníků. Po této lekci můžeme sebevědomě vykročit k navrhování pomocí CA.. technologií a tvořit sofistikovaná technická díla.

Literatura

[1]Madáč, K., Molnár, V., Fedorko, G.: Základy aplikácie Pro/Engineer v technickej konštrukcii. Edičné stredisko AMS, F BERG, TU Košice, 2003
[2]Maligda, J., Stanová, E.: Deskriptívna geometria. SvF TU Košice, 1998, ISBN 80-7099-317-0
[3]Velichová, D.: Konštrukčná geometria, Vydavateľstvo STU, Bratislava, 1996
[4]http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mcdonnell_planetarium_slsc.jpg

Autoři pracují na TU v Košicích.

Článek byl vypracován v rámci řešení projektů:
VEGA 1/0401/08 Metódy 3D modelovania s uvažovaním využitia
virtuálnych simulačných CA – technológií
a
VEGA 1/4002/07 Plochy v geometrickom modelovaní

 


Mohlo by vás zajímat:
 

Přidat komentář

Bezpečnostní kód
Obnovit